LÓGICA INTUICIONISTA

“La construcción de Brouwer de la matemática intuicionista es nada más y nada menos que una investigación de los límites que puede alcanzar el intelecto en su despliegue” (Arend Heyting)

“El edificio de la matemática intuicionista es un arte, no una ciencia” (Brouwer)

“No pueden existir matemáticas si no han sido construidas intuitivamente” (Brouwer)

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La Lógica Intuicionista de Brouwer
La lógica clásica es una lógica bivalente: solo utiliza dos valores de verdad: V (verdadero) y F (falso). Es una lógica analítica, superficial y dualista.

La lógica intuicionista es una lógica sintética, profunda, no dualista. Es una lógica más flexible que la lógica clásica. Dicho de otro modo: la lógica clásica es más restrictiva que la lógica intuicionista.

Según Michael Dummett [1977], la lógica correcta que debe aplicarse a la matemática no es la lógica clásica, sino la intuicionista.

La lógica intuicionista rompe con la dualidad V-F de la lógica clásica, donde ¬V = F y ¬F = V, y tiene las características siguientes:


La verdad

El concepto tradicional de verdad en lógica clásica se sustituye por el concepto de demostración constructiva (o procedimiento constructivo). En lógica clásica, se asigna un valor de verdad V (verdadero) o F (falso) a una proposición. En lógica intuicionista solo se asigna un valor verdadero a una entidad matemática tras haber encontrado una demostración constructiva, y se asigna valor falso cuando se demuestra que no es construible. Si no se ha encontrado una demostración constructiva para una entidad matemática, no quiere decir que que sea falsa, sino que no se sabe si es verdadera o falsa.

Una entidad matemática puede ser también una relación entre entidades matemáticas. Por ejempo, las relaciones 3×4 = 12 y a∈{a b} son verdaderas. Y las relaciones 4<3 y 1+1 = 3 son falsas.

La verdad de una entidad matemática es independiente del lenguaje. No depende de su expresión formal o lingüística.


El principio de la doble negación.

En general, no se cumple la ley de la eliminación de la doble negación: ¬¬A → A. En cambio, es válida la implicación contraria: A → ¬¬A.

La expresión ¬A indica que A no es construible. Negar que “A no es construible” no implica que “A es construible”. Si no encontramos un procedimiento constructivo para una entidad matemática, esto no quiere decir que sea falsa, pues puede ocurrir que más adelante lo encontremos o puede ocurrir que demostremos que es imposible construirla. En este último caso, la entidad sería efectivamente falsa.

Como decía Brower, utilizando un símil, la imposibilidad de demostrar la culpabilidad de un acusado no demuestra su inocencia.

En este sentido, hay asimetría entre sentencias positivas y negativas, simetría que sí existe en la lógica clásica. En la lógica intuicionista, la sentencia positiva (A) es “más fuerte” (tiene más valor) que la negativa (¬A).


El principio del tercero excluido (PTE)

En lógica clásica, el PTE afirma que una proposición es verdadera o falsa; no hay un tercer valor. En lógica proposicional se expresa como (A ∨ ¬A). Este principio en lógica proposicional es equivalente (por la ley de De Morgan) a su dual: ¬(A ∧ ¬A), que es el principio de no-contradicción. Estos principios son tautologías en la lógica clásica:

(A ∨ ¬A) = V    ¬(A ∧ ¬A) = V

Pero en lógica intuicionista se distingue entre ambos principios:

• El PTE (A ∨ ¬A) no es válido, pero sí lo es ¬¬(A ∨ ¬A).
• Tampoco se cumple su principio dual, el principio de no contradicción ¬(A ∧ ¬A).

Brouwer observó que el PTE se había establecido para situaciones finitas y que se había generalizado sin justificación para situaciones infinitas. Para Brouwer esto era equivalente a decir a priori que todo problema matemático tiene una solución. Aceptar el PTE es equivalente a aceptar el axioma hilbertiano de resolubilidad de todos los problemas matemáticos. Al cuestionar este principio, Brouwer se adelantó en un cuarto de siglo al teorema de incompletud de Gödel. Es decir, hay problemas que son indecidibles, es decir, que no es posible conocer su verdad o falsedad. También hay problemas que no sabemos si algún día se resolverán o si se demostrarán que son indecidibles. Por ejemplo:

• La conjetura de Goldbach: todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos (iguales o distintos).
  
  
• La conjetura de los infinitos números primos gemelos.
  
  
• La hipótesis de Riemann, una conjetura sobre la relación entre los ceros de la función zeta de Riemann y los números primos.
  
  
• Para la matemática tradicional, todo número real es racional o irracional. Para el intuicionismo, un número irracional es una secuencia convergente de infinitos números racionales definidos mediante una ley que relacione un número con el anterior, por lo que en general no es posible determinar si un número es racional o irracional.
  
  Por lo tanto, la función de Dirichlet f(x) = 1 si x es racional y f(x) = 0 si x es irracional no tiene sentido porque no pueden distinguirse los números racionales de los irracionales de modo estricto.
  
  
• En la expansión decimal infinita de π, se pueden plantear varias preguntas como: ¿Aparece un dígito más a menudo que los otros? ¿Hay infinitos pares de dígitos iguales consecutivos? ¿Aparece una determinada secuencia (suficientemente larga)? Etc.

Sin embargo, una conjetura o cuestión matemática puede llegar a ser demostrada en el trascurso del tiempo y dejar de ser indecidible.


La demostración por reducción al absurdo

La demostración por reducción al absurdo (introducida por Hilbert) consiste en que para demostrar que una sentencia A es verdadera, se supone que la sentencia ¬A es verdadera. Si se demuestra que ¬A es falsa o conduce a una contradicción, entonces A es verdadera. Pero para la lógica intuicionista esto solo demuestra que la sentencia negativa (¬A) es falsa, pero no implica necesariamente la positiva (A).


La interpretación estándar de la lógica intuicionista

La interpretación estándar de la lógica intuicionista es la llamada “interpretación BHK” (de Brouwer, Heyting y Kolmogorov), también llamada “interpretación de la demostración”, que asigna significado constructivista a los símbolos lógicos.

La interpretación BHK está formada por las definiciones siguientes:

1. Una demostración de A∧B es una demostración de A y una demostración de B.
   
   
2. Una demostración de A∨B es una demostración de A o una demostración de B.
   
   
3. Una demostración de A→B es una construcción que nos permite transformar una demostración de A en una demostración de B.
   
   
4. La fórmula ¬A se define como A→⊥, es decir, una demostración de ¬A es una construcción que transforma una demostración de A en una contradicción.
   
   
5. Una demostración de ∀xA(x) es una construcción que transforma una demostración d∈D (el rango de la variable x) en una demostración de A(d).
   
   
6. Una demostración de ∃xA(x) es una demostración de A(d), donde d∈D (el rango de la variable x).

El problema de la interpretación BHK es que no existe una definición formal de construcción, por lo que estas definiciones se pueden interpretar de varias maneras. La interpretación BHK es más heurística que matemáticamente precisa.


La Lógica Intuicionista de Heyting
Arend Heyting −discípulo de Brouwer y gran defensor de sus ideas−, propuso una nueva lógica para “formalizar el intuicionismo”, lo que constituye una contradicción, pues según los principios del intuicionismo: 1) la matemática es independiente del lenguaje y no necesita formalizarse, pues es una construcción mental; 2) la lógica es una aplicación de la matemática.

Heyting creó en 1930 la lógica intuicionista −también llamada “lógica constructivista”− con la intención de que fuera el fundamento lógico formal de la matemática intuicionista de Brouwer, en especial para formalizar la no validez de los principios clásicos del tercero excluido (PTE) y la ley de la eliminación de la doble negación.

Sin embargo, Brouwer desestimó el proyecto de formalización de la lógica intuicionista de Heyting, pues no la consideraba como auténtico intuicionismo, aunque calificó el trabajo de su discípulo como “extraordinariamente interesante”.

Debido a Heyting, el intuicionismo entró en una dinámica formalista con la que se crearon nuevas lógicas, como las lógicas polivalentes.

Heyting justificó la introducción de un sistema axiomático formal para la lógica intuicionista diciendo que solo lo consideraba un medio auxiliar, porque la matemática no puede reducirse a un conjunto finito de reglas preestablecidas expresadas en un lenguaje. El lenguaje es algo limitado y no permite expresar pensamientos e intuiciones. El formalismo tiene un carácter incompleto porque no puede captar la matemática en su totalidad. La lógica es una aplicación de la matemática. La inferencia o deducción es matemática aplicada. La lógica no es el fundamento de la matemática, sino un medio auxiliar de ella.

La lógica intuicionista ha sido formalizada axiomáticamente de varias maneras. Además de la de Heyting [1971], están entre otras las de Gentzen [1935], Kleene [1952] y Kripke [1965].

La interpretación más difundida y conocida es la “semántica de los mundos posibles” de Kripke, que tiene un gran parecido con la teoría clásica de modelos. Los modelos de Kripke han sido adoptados como los modelos estándar para la lógica modal y la lógica intuicionista. El modelo de Kripke es un modelo ideado inicialmente para la lógica modal, pero posteriormente, Kripke se dio cuenta de que suministraba una semántica para la lógica intuicionista. Así que en la semántica de los mundos posibles existe una estrecha conexión entre la lógica intuicionista y la lógica modal.


Características de la lógica intuicionista de Heyting

• Infinitos valores de verdad.
  En la lógica clásica solo hay dos valores de verdad (V y F). En la lógica intuicionista hay infinitos valores de verdad. Los equivalentes lógicos de V y F en la lógica intuionista son respectivamente ⊤ (top) y ⊥ (bottom), que se consideran proposiciones triviales. ¬A indica que A no es demostrable, por lo que se cumple que A→⊥.
  
  
• Sintaxis.
  La sintaxis de las fórmulas de la lógica intuicionista es idéntica a la de la lógica proposicional y la lógica de predicados de primer orden. Se utilizan las conectivas lógicas clásicas (¬ ∨ ∧ →) y los cuantificadores universal (∀) y existencial (∃). Estos operadores son independientes entre sí, al contrario que en la lógica clásica, en donde, por ejemplo, la disyunción se puede definir mediante la negación y la conjunción, y donde el cuantificador existencial se puede definir mediante el cuantificador universal y la negación:
  
  
  A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B)
  A ∧ B = ¬(¬A ∨ ¬B)
  ∃x A(x) = ¬∀x ¬A(x)
  ∀x A(x) = ¬∃x ¬A(x)
  
  Pero la lógica intuicionista distingue entre fórmulas que la lógica clásica considera equivalentes. Por ejemplo, las leyes de De Morgan de la lógica clásica se cumplen parcialmente:
  
  
  ¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)
  
  (¬A ∨ ¬B) → ¬(A ∧ B)
  (la implicación opuesta no se cumple)
  
  ¬(A ∧ B) ↔ ¬¬(¬A ∧ ¬B)
  (ley de De Morgan débil)
  
  No toda fórmula de la lógica de predicados intuicionista tiene su equivalente en forma prenexa. Una fórmula prenexa es la que está escrita con los cuantificadores al principio. Por ejemplo, la fórmula ∀x¬¬(A(x) ∨ ¬A(x)) es un teorema de la lógica intuicionista, pero ¬¬∀x(A(x) ∨ ¬A(x)) no lo es.
  
  
• Tautologías.
  En lógica clásica, una fórmula es una tautología si y solo si su valor es V para todos los posibles valores de las variables. En lógica intuicionista se utilizan, en lugar de valores de verdad, valores del álgebra de Heyting. Una fórmula de la lógica intuicionista es válida si y solo si recibe el valor de T para todo valor del álgebra de Heyting. (El álgebra de Heyting se explica más adelante.)
  
  Todos los teoremas (tautologías) de la lógica intuicionista son válidos en la lógica clásica, pero no a la inversa. La lógica intuicionista es más general que la lógica clásica.
  
  
• Reglas de inferencia.
  Hay 3 reglas de inferencia:
  
  
  1. Modus Ponens.
     De A y A → B, se infiere B.
     
     
  2. Introducción de ∀.
     De A → B(x), donde x es una variable que no aparece en A, se infiere A → ∀x B(x).
     
     
  3. Eliminación de ∃.
     De A(x) → B, donde x es una variable que no aparece en B, se infiere ∃x A(x) → B.

MENTAL y la Lógica Intuicionista
La verdad

En la lógica intuicionista una entidad matemática es verdadera si es construible.

En MENTAL, toda expresión construida bien formada (de acuerdo con las reglas sintácticas) existe. Una relación que se cumpla entre expresiones del espacio abstracto existe.

La verdad (V) también se puede aplicar a una expresión como predicado extrínseco o atributo: x/V.


Principio de tercero excluido (PTE)

En MENTAL rige el PTE en 3 sentidos:

1. En la Condición. Una condición se cumple o no se cumple. No se puede cumplir “a medias”.
   
   
2. En las metaexpresiones existenciales θ y α, que son contrarias entre sí:
   
   
   (θ' = α)    (α' = θ)
   
   
3. En las magnitudes cualitativas (q) como alto, rico, rápido, etc. y sus contrarias (q'), incluyendo lo verdadero (V) y lo falso (F), que también son contrarias entre sí:
   
   
   (V' = F)    (F' = V)
   
   Estas expresiones pueden estar afectadas por un factor entre 0 y 1, cumpliéndose las relaciones siguientes:
   
   
   ⟨( f*q ≡ (1−f)*q' )⟩ ⟨( f*q' ≡ (1−f)*q )⟩
⟨( (f*q)' ≡ (1−f)*q )⟩ ⟨( (f*q)' ≡ f*q' )⟩
   
   Por ejemplo, si (alto' = bajo), tenemos:
   
   (0.3*alto ≡ 0.7*bajo)
(0.3*alto)' ≡ 0.7*alto)
(0.3*alto' ≡ 0.3*bajo)

Si se utiliza V como predicado, como el lenguaje está abierto, podemos definir:

((x/V)/V = x/V)    ((x/V)/F = x/F)
((x/F)/V = x/F)    ((x/F)/F = x/V)

que es la interpretación de la lógica clásica. Pero podríamos establecer una lógica intuicionista y no dar la doble negación como verdadera y admitir que no sabemos si es verdadera o falsa. Formalmente,

((x/F)/F = x/(∈{V F))

Para expresiones finitas se cumple el PTE, que se aplica a todo tipo de expresiones, no solo a las lógicas: una expresión existe o no existe.

⟨(θ ←' x? → α )⟩

La evaluación de una expresión mediante el operador “?” es la expresión nula (θ) o la expresión existencial (α). Por ejemplo,

{a b c}? // ev. α
(a∈{b c})? // ev. θ
(3<4)? // ev. α

Para expresiones infinitas también se cumple, siempre que existan operadores descriptivos. Por ejemplo,

({2 4 …} ⊂ {1…})? // ev. α

(el conjunto de los números pares están incluidos en el conjunto de los números naturales)


Conclusiones

MENTAL armoniza la lógica clásica y la lógica intuicionista:

• MENTAL es a la vez formalista (utiliza un lenguaje formal) e intuicionista (utiliza conceptos intuitivos universales). La “construcción” en MENTAL es a la vez lingüística (formal) y mental (conceptual).
  
  
• “Verdadero” y “falso” equivalen a “existencia” y “no existencia”, respectivamente., que se aplican a todo tipo de expresiones.
  
  
• Realmente, los conceptos de “verdadero” y “falso” son superfluos y además son ambiguos y pueden inducir a confusión. Nos bastan los conceptos de existencia y no-existencia. Si queremos utilizar el simbolismo V-F, podemos definir (V =: α) y (F =: θ). Es decir, V representa la existencia y F la no-existencia.
  
  
• MENTAL es un lenguaje formal universal que permite expresar las diferentes lógicas: proposicional, predicativa, polivalente, difusa, modal, intensional, intuicionista, etc. Puede crearse una lógica que tenga características mixtas: lógica difusa intuicionista, lógica modal intuicionista, lógica modal difusa intuicionista, o cualquier lógica imaginaria.
  
  
• A nivel profundo, solo hay una lógica: la basada en la primitiva “Condición”. Las diferentes lógicas son solo aplicaciones de MENTAL. Mediante el lenguaje universal se puede definir y utilizar la lógica más adecuada en cada caso.
  
  
• La lógica de Brouwer es conceptual. La lógica de Heyting es formal, pero es de una complejidad innecesaria. Se puede considerar una lógica imaginaria. Es un ejercicio teórico interesante, pero de poca utilidad práctica.
  
  
• La lógica intuicionista no es la verdadera lógica. La verdadera lógica es una, fija y absoluta, porque se fundamenta en un arquetipo primario (la Condición) y en el concepto de existencia o no-existencia de una expresión. Este arquetipo primario es tan fijo y absoluto como el de conjunto o secuencia. De la misma forma que no tiene sentido desarrollar conceptos alternativos (o más abstractos) a conjunto o secuencia porque eso implicaría una pérdida de unos conceptos que son esenciales.

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Adenda
Intuicionismo y conceptualismo

El intuicionismo es una teoría gnoseológica según la cual la intuición es el único modo de conocer la realidad. La verdadera realidad reside en lo profundo y solo se puede captar por la intuición.

• Para Platón, el alma capta directamente la realidad de las ideas eternas a través de la intuición, que es la forma más perfecta del conocimiento. Platón es el padre del intuicionismo.
  
  
• Para Kant, la intuición se caracteriza por ser eminentemente activa y creadora.
  
  
• Para Bergson, la intuición es conciencia inmediata y nos introduce en la esencia del Ser; la intuición es la única vía para la construcción de la metafísica.
  
  
• Para Husserl, la intuición eidética (de eidos, idea) es un conocimiento perfecto, un aprehender la esencia de las cosas.

El intuicionismo es diferente del conceptualismo, la escuela filosófica que afirma que los universales, las abstracciones e ideas son entidades que solo existen en la mente humana.


Constructivismo e idealismo

El constructivismo es una teoría del conocimiento basado en 3 principios: 1) El conocimiento no se recibe pasivamente, sino que se construye de forma activa por el sujeto cognoscente; 2) El proceso de cognición es adaptativo en el sentido de que sirve para organizar internamente el mundo experiencial y no para descubrir la realidad ontológica externa; 3) Los contenidos mentales no tienen relación con la “verdad”, entendida como correspondencia entre mundo interno y externo.

• En matemática, el teorema de Gödel establece límites a la verdad, pero en el constructivismo no hay limitaciones.
  
  
• En lingüística, el receptor construye los significados sobre la base de su universo interior.
  
  
• En literatura, los significados no están en los textos. Los lectores construyen los significados.
  
  
• En cibernética, los sistemas se autorregulan internamente de forma activa y adaptativa.
  
  
• En psicología, el ser humano solo tiene acceso a las sensaciones y a las operaciones de la mente con las que construye su mundo interior. “La inteligencia organiza el mundo al organizarse ella misma” (Piaget).

El constructivismo nació con Giambattista Vico: la verdad es lo que el hombre llega a conocer al construir a través de sus acciones. El ser humano solo puede conocer una cosa que él mismo crea. “Verum ipsum factum” (La verdad es hacerlo). Lo que creamos, está determinado por nuestras anteriores construcciones. El conocimiento es constructivismo interno, mental. Vico fue un innovador epistemológico.

Hasta Kant, se consideraba que el sujeto era pasivo en el acto de conocer; el sujeto se tenía que subordinar al objeto para poder conocerlo. Con Kant, el sujeto es activo; es el objeto el que tiene que subordinarse al sujeto en el acto de conocimiento. Kant utiliza la expresión “idealismo trascendental” para distinguirse del idealismo subjetivo radical de Berkeley. El conocimiento humano solo puede referirse al fenómeno y no al noúmeno (la cosa en sí). En la experiencia de conocimiento, el psiquismo humano es determinante en el conocimiento del objeto. La construcción de la realidad está determinada por las categorías del pensamiento y de las intuiciones a priori de espacio y tiempo. La metafísica puede ser interpretada a través de la epistemología, ya que podemos abordar los problemas metafísicos al entender la fuente y los límites del conocimiento.

El constructivismo radical fue fundado por Heinz Von Foerster y Ernst von Glasersfeld. Para Von Foerster, el sistema nervioso no distingue entre percepción y alucionación (hoy decimos que el cerebro no distingue entre lo real y lo imaginado).

El idealismo es una doctrina filosófica que da primacía a las ideas. El objeto de conocimiento no es la realidad en sí misma, sino la representación de la realidad en nuestra mente (las ideas).

Para el idealismo objetivo, las ideas existen por sí mismas y solo podemos aprehenderlas por la experiencia sensible. Para el idealismo subjetivo, las ideas solo existen en la mente del sujeto. Para el idealismo subjetivo radical, la realidad es solo mental.

Para George Berkeley, idealista subjetivo radical, la realidad no es más que una colección de ideas en nuestra mente. El mundo externo es solo una idea en el espíritu de Dios. Solo conocemos lo que percibimos. No existen los conceptos abstractos.


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